Математичні моделі: від задач до реальності

Колеги! Давайте будемо відвертими: фраза «Де мені це знадобиться в житті?» — це не просто дитяча примха. Це виклик нашому вмінню показувати зв’язок між абстрактними іксами та реальністю. 

Згідно з Новим державним стандартом (НУШ), перша група загальних результатів (ГЗР 1) зосереджена саме на дослідженні ситуацій та створенні математичних моделей. Це не про те, як розв’язати рівняння, а про те, як побачити це рівняння у черзі в супермаркеті, у графіку вимкнення світла або в бізнес-плані кав’ярні. 

Що таке математичне моделювання «на пальцях»? 

Це процес перекладу з «людської» мови на «математичну». Весь цикл виглядає так:

• Реальна ситуація (Хочу купити крутий телефон).

• Математична модель (Скільки треба відкладати з кишенькових грошей, враховуючи інфляцію?).

• Математичне розв’язання (Обчислення).

• Інтерпретація (Чи реально це? Чи не залишуся я голодним?).

Від простих схем у 5 класі до складних прогнозів у випускників — математичне моделювання має рости разом з учнем. Розглянемо конкретні стратегії та приклади задач, які адаптовані під кожен віковий етап і допомагають «приземлити» абстрактні формули. 

5–6 класи: Від гри до перших кроків 

У цьому віці діти — стихійні моделювальники. Використовуйте візуалізацію. 

Задача 1: «Планування вечірки». Дайте бюджет і прайс-лист. Учні мають створити модель витрат.

Порада: Привчіть їх малювати схеми. Схема — це вже перша модель. Замість сухої умови — «сторіз» в Instagram, де треба порахувати лайки/охоплення.

Задача 2: «Ремонт кімнати мрії». Запропонуйте учням оновити підлогу у своїй кімнаті. Їм потрібно виміряти площу (на око або за планом), обрати покриття (ламінат чи лінолеум) і врахувати, що матеріал продається лише цілими упаковками. Це вчить округленню «з надлишком» у реальному контексті.

Порада: Використовуйте стікери та колажі. Нехай модель буде не лише в зошиті, а й на стіні у вигляді схеми-планування. Це допомагає дітям усвідомити, що числа — це реальні об’єкти.

7–9 класи: Алгебра як мова прогнозів 

Тут з’являються функції та системи рівнянь. Це золотий час для «прикладних кейсів». 

Задача 1: «Вибір тарифного плану». Порівняння двох провайдерів (лінійна функція y = kx + b). Де графіки перетинаються? Це точка вигоди.

Порада: Використовуйте GeoGebra. Коли учень бачить, як змінюється графік від зміни параметра, він розуміє модель на рівні інтуїції.

Задача 2: «Еко-логіка: Сортування сміття». Створіть модель: скільки пластику викидає родина за тиждень? Якщо здавати його на переробку за певною ціною, за який час можна назбирати на квитки в кіно? Тут з’являються системи лінійних рівнянь: витрати часу на сортування vs прибуток.

Порада: Впроваджуйте елементи аналізу даних. Нехай учні зберуть власну статистику (наприклад, час у TikTok за тиждень) і побудують прогноз: скільки годин життя вони «віддадуть» соцмережам за рік за такої моделі поведінки.

10–11 класи: Аналіз та критичне мислення 

Тут ми працюємо з оптимізацією (похідна) та ймовірностями. 

Задача 1: «Логістика для волонтерів». Побудувати найкоротший маршрут або розрахувати необхідний об’єм палива для генератора на зиму.

Порада: Давайте завдання з «зайвими» або «недостатніми» даними. У житті ніколи не буває ідеальної умови задачі.

Задача 2: «Математика здоров’я (фармакологія)». Використовуючи знання про функції та графіки, побудуйте модель виведення ліків з організму. Якщо концентрація падає вдвічі кожні 4 години, через скільки часу можна приймати наступну таблетку, щоб не було передозування?

Порада: Додавайте «шум» у дані. Наприклад, ціна на бензин коливається, або діє акція «1+1=3». Це змушує учнів не просто підставляти значення у формулу, а корегувати саму модель залежно від умов, що змінюються.

Як оцінювати створення математичної моделі за ГЗР 1 та чи відповідає сама задача вимогам ГЗР 1?  

Чекліст: «Чи є моє завдання математичною моделлю?»

(Якщо ви поставили 4-5 «ТАК», вітаю — це ідеальне завдання для НУШ)

Оцінювання за НУШ — це не підрахунок помилок, а відстеження прогресу. 

1. Формувальне оцінювання (у процесі) 

Метод «Рівень сигналу Wi-Fi» (замість «Світлофора»)

Запитайте учнів, наскільки «ловить» їхня модель реальність.

• Низький сигнал (1 поділка): «Я бачу цифри, але не розумію, як вони пов’язані».

• Середній сигнал (2-3 поділки): «Я склав рівняння, але не впевнений, що воно спрацює в житті».

• Full 5G (всі поділки): «Моя модель готова до тестування, я врахував усі змінні!».

Чому це працює: Це знімає стрес. Учень не «поганий», у нього просто зараз «слабкий сигнал», над яким треба попрацювати.

2. Оцінювання за ГЗР 1 (критерії) 

Щоб поставити оцінку в колонку «Досліджує ситуації та створює математичні моделі», зверніть увагу на: 

Секретний інгредієнт: Метод «Чорної скриньки» 

Спробуйте дати учням готову модель (наприклад, складну формулу розрахунку кредиту) і попросіть «розгадати», як вона працює. Це вчить їх не боятися складних структур. 

Пам’ятайте: Наша мета — не навчити їх розв’язувати 100 однотипних прикладів, а навчити їх бачити математику там, де інші бачать хаос.